Caractérisation vectorielle d'un plan de l'espace

Définitions

Soit \(P\) un plan de l'espace.
Deux vecteurs de l'espace, non colinéaires ,   \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) forment une base du plan \(P\) s'il existe trois points non alignés \(\mathrm{A}\) , \(\mathrm{B}\) et  \(\mathrm{C}\)   du plan \(P\)  tels que  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}+\mathrm{\overrightarrow{AC}}=\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}\) .
On dit alors que le plan \(P\)  est dirigé par les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) .
On dit aussi que \((\mathrm{A}~ ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\) est un repère de  \(P\) .

Propriété

Soit \(P\) un plan de l'espace et \((\mathrm{A}~ ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\) un repère de ce plan. Alors, le plan \(P\) est l'ensemble des points \(\mathrm{M}\) de l'espace tels que :  \(\mathrm{\overrightarrow{AM} }= x \overrightarrow{u}+ y \overrightarrow{v}\) , où \(x\) et \(y\) sont des réels, c'est-à-dire l'ensemble des points \(\mathrm{M}\) tels que \(\mathrm{\overrightarrow{AM} }\) est une combinaison linéaire des vecteurs  \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) .

Propriété

Soit \(\text A\) , \(\mathrm{B}\) et  \(\mathrm{C}\) trois points non alignés de l'espace.
Le plan \(\mathrm{(ABC)}\) est l'ensemble des points \(\mathrm{M}\) de l’espace tels que \(\mathrm{\overrightarrow{AM} }= x \mathrm{\overrightarrow{AB}}+ y \mathrm{\overrightarrow{AC}}\) , où \(x\) et \(y\) sont des réels.
Ainsi, le plan \(\mathrm{(ABC)}\) est l’ensemble des points \(\mathrm{M}\) de l'espace tels que le vecteur \(\mathrm{\overrightarrow{AM}}\)   est une combinaison linéaire des vecteurs \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\) .

 Propriété

Soit \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non colinéaires.
Les vecteurs  \(\overrightarrow{u}\) , \(\overrightarrow{v}\)  et \(\overrightarrow{w}\) sont coplanaires si et seulement si \(\overrightarrow{w}\) est une combinaison linéaire de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) , c'est-à-dire s'il existe deux réels  \(x\)  et  \(y\)  tels que  \({\overrightarrow{w}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}}\) .

Exemple

Soit \(\mathrm{ABCDEFGH}\) un cube.

• Les vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et  \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) ne sont pas colinéaires et \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}=\mathrm{\overrightarrow{AB}}+\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) .  
  \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\)  est une combinaison linéaire de  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et  \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) .
  Donc   \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) ,  \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\)  et  \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\)  sont coplanaires.
• Soit \(\mathrm{I}\) et \(\mathrm{J}\) les milieux respectifs des côtés \(\mathrm{[BF]}\) et \(\mathrm{[CG]}\) .
  Les vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) ,  \(\mathrm{\overrightarrow{EG}}\) et  \(\mathrm{\overrightarrow{IJ}}\) sont coplanaires.
  En effet,   \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et  \(\mathrm{\overrightarrow{IJ}}\) ne sont pas colinéaires et  \(\mathrm{\overrightarrow{EG}}=\mathrm{\overrightarrow{AC}}=\mathrm{\overrightarrow{AB}}+\mathrm{\overrightarrow{BC}}=\mathrm{\overrightarrow{AB}}+\mathrm{\overrightarrow{IJ}}\) .  

• Les vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) ,  \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\)  et  \(\mathrm{\overrightarrow{CG}}\) ne sont pas coplanaires car  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) ne sont pas colinéaires mais  \(\mathrm{\overrightarrow{CG}}\) n'est pas une combinaison linéaire des vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) .

Propriétés

• Soit \(P\) un plan de l'espace et \((\mathrm{A}~; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\) un repère de ce plan. Ce plan est l'ensemble des points   \(\mathrm{M}\) de l'espace tels que \(\mathrm{\overrightarrow{AM}}\) ,  \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont coplanaires.
• Soit \(\text A\) , \(\mathrm{B}\) et  \(\mathrm{C}\) trois points non alignés de l'espace. Le plan \(\mathrm{(ABC)}\) est   l’ensemble des points \(\mathrm{M}\) de l'espace tels que les vecteurs \(\mathrm{\overrightarrow{AM}}\) , \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) et \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\) sont coplanaires.